Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei

Definíció következik, figyelj most:
Egy szakasz felezőmerőlegese az az egyenes ott,
Mely a szakasz felezőpontján halad át,
És a szakaszra merőlegesen áll.
Ez nem becslés, nem érzés kérdése,
Ez a síkgeometria pontos tételezése.
Definíció: egy konvex szög belsejében
A szögfelező a csúcsból indul szépen,
Két egyenlő szögre bontja a szögtartományt,
A száraktól egyenlő távolságra áll.
Definíció: magasság az a szakasz,
Mely csúcsból indul, merőleges és halad
A szemközti oldal egyenesére le,
Ez a magasságvonal, jegyezd meg, ne feledd.
A háromszög három oldalfelező merőlegese
Egy pontban metszi egymást szükségszerűen.
Ez a pont a háromszög köré írt kör középpontja,
És a csúcsoktól egyenlő távolságra van.
Legyen adott egy AaBéCé háromszög,
Vegyük fel az AaBé és AaCé oldalfelező merőlegesét előbb.
Ezek metszik egymást, mert nem párhuzamosak,
Legyen metszéspontjuk Ká, ezt most rögzítsük pontosan.
Mivel Ká az AaBé felezőmerőlegesén áll,
KáAa egyenlő KáBé, ez a definícióból már adódik már.
Mivel K az AC felezőmerőlegesén is rajta van,
KáAa egyenlő KáCé, ezt is kimondhatjuk nyomban.
Ebből következik: KáBé egyenlő KáCé,
Tehát Ká a BéCé felezőmerőlegesén is elhelyezkedik.
Így mindhárom oldal felezőmerőlegese
Ugyanabban a pontban metszi egymást – ez a tétel lényege.
KáAa egyenlő KáBé egyenlő KáCé egyenlő a sugárral,
Tehát Aa, Bé és Cé egy Ká középpontú körön van fel.
A bizonyítást ezzel lezártuk,
A tételt teljes egészében igazoltuk.
Hegyesszögű háromszög esetén
A köré írt kör középpontja a háromszög belsejében.
Derékszögű háromszögnél az átfogó felezőpontja,
Tompaszögű háromszögnél a háromszögön kívül található.
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást.
Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja,
Mely a háromszög oldalait érinti.
Nem költészet, hanem rendszer,
Definíciók és tételek rendje.
Pontok, vonalak, bizonyítás,
Ez a geometria valódi arca, nem díszítés.